روش انتگرال اول برای حل دسته ای از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی غیرخطی مختلط

در سال های اخیر، تحقیق کردن درباره جواب های دقیق معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی غیرخطی نقش مهمی در پدیده های غیرخطی بازی کرده است. پدیده های غیرخطی در طیف گسترده ای از علوم نظیر فیزیک پلاسما، فیزیک حالت جامد، دینامیک سیالات و ... ظاهر می شوند. برای این منظور، ریاضی دانان و فیزیک دانان برای پیدا کردن جواب های دقیق آنها تلاش های زیادی انجام می دهند‎. چندین روش قدرتمند و خوب برای به دست آوردن جواب های دقیق معادلات غیرخطی مثل روش پراکندگی وارون، روش تبدیل بکلند، ‏روش تبدیل داربوکس، روش دوخطی هیروتا، روش تعادل همگن، روش بسط گویا معادله ریکاتی، روش تانژانت هایپربولیک، روش بسط f و غیره، ارائه شده است. روش انتگرال اول برای اولین بار توسط فنگ‎، برای حل معادله برگر-kdv پیشنهاد شد که بر پایه نظریه حلقه ها در جبر جابجایی است‎.‎ این روش مفید برای حل خیلی از معادلات استفاده شده است. برای مثال، راسلن روش انتگرال اول را برای حل معادله فیشر پیشنهاد داد. عباس بندی و شیرزادی معادله ماهونی-بونا-بنجامین را با استفاده از روش انتگرال اول حل کرده اند. تاسکن و همکارانش از روش انتگرال اول برای به دست آوردن جواب های دقیق معادله اصلاح شده کوزنتسف-زاخاروف و معادله zk-mew استفاده کردند. اخیرا، ونگ و همکارانش یک روش جدید به نام روش بسط (g/g) برای پیدا کردن جواب های موج سیار معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی غیرخطی را معرفی کرده اند. ‏ روش بسط (g/g) بر پایه این فرض است که جواب های موج سیار می توانند توسط یک چندجمله ای برحسب (g/g) بیان شوند، که در آن g در یک معادله دیفرانسیل معمولی خطی مرتبه دوم (lode) صدق می کند. درجه این چندجمله ای با موازنه کردن بین بزرگترین مرتبه مشتق و بزرگترین عبارت غیرخطی ظاهر شده در معادله غیرخطی می تواند به دست آید. ضرایب این چندجمله ای نیز با حل یک مجموعه از معادلات جبری به دست آمده از فرآیند استفاده از این روش، به دست می آیند. با استفاده از روش بسط (g/g)، ونگ و همکارانش موفق شدند چهار معادله غیرخطی دیگر را حل کنند. در این پایان نامه به موضوعات زیر پرداخته ایم: در فصل اول، تعاریف و مقدمات اولیه که پیش نیاز این پایان نامه است، بیان کردیم.‎ در فصل دوم، ابتدا به بیان تعاریف و قضایایی که برای شرح روش انتگرال اول نیاز است، پرداختیم و سپس روش انتگرال اول را بیان کردیم و در انتها برای درک بهتر، معادله اصلاح شده موج با پهنای برابر (mew) ‎را هم به روش کلاسیک و هم روش انتگرال اول حل کردیم.‎ در فصل سوم، ابتدا به بیان تاریخچه معادله فازی هامیلتونی جدید، معادله شرودینگر و معادله فیلد هیگز دوگانه پرداختیم. سپس این معادلات را به روش انتگرال اول حل کردیم.‎ در فصل چهارم، ابتدا به بیان تعاریف و قضایایی که برای شرح روش بسط (g/g)‏‏‎ نیاز است، پرداختیم و سپس روش بسط (g/g) را بیان کردیم و در انتها برای درک بهتر، معادله برگر را هم به روش کلاسیک و هم روش بسط (g/g) حل کردیم. در فصل پنجم، ابتدا به بیان تاریخچه معادله اصلاح شده کورتوگ-دو ریز (mkdv)‎ پرداختیم سپس این معادله را به روش های کلاسیک، انتگرال اول و بسط (g/g) حل کردیم.‎ و در انتها به مقایسه دو روش انتگرال اول و روش بسط (g/g) پرداختیم و مزیت های هر یک نسبت به یکدیگر را بیان کردیم. سپس جواب های معادله mkdv را که با استفاده از این دو روش به دست آورده بودیم، با هم مقایسه کردیم.